Lebegőpontos ábrázolás

Lebegőpontos számrendszerek alapjai

• Nagyobb pontosság vs. több paraméter tárolása: A lebegőpontos számábrázolás lehetővé teszi nagyon nagy vagy kicsi számok ábrázolását, de cserébe bonyolultabb a számítási folyamat és több paramétert kell tárolni.
• 7 paraméter definiálja a rendszert:
  • Számrendszer alapja (rb).
  • Előjel nagysága
  • Mantissza (M) alapja és nagysága
  • Kitevő alapja (re)
  • előjel és hosszúság

Egyszerű matematikai jelölés: 

Felhasználás: például a proton tömege (1.673 x 10^-24)

Mantissza igazítása: a számot úgy kell alakítani, hogy a mantissza [1/rb, 1] intervallumba essen. Példa: 32768 -> 0.32768 x 10^5
Az eredeti számot normálizáljuk és a kitevőt hozzáigazítjuk. 

Lebegőpontos rendszer paraméterei

Mantissza értéke (VM)

Maximális érték: 

Minimális értéke

d1, d2, …, dm a mantissza számjegyei
rb a számrendszer alapja (pl bináris számrendszer esetén rb=2)
a mantissza értéke a [1/rb, 1) intervallumba esik, tehát 1/rb ≤ VM < 1
A mantissza legkisebb lehetséges értéke: 1/rb. Ez akkor következik be, ha a mantisszában csak egyetlen 1 szerepel az első helyiértékben és minden további helyiérték 0.
A mantissza legnagyobb lehetséges értéke: 1 (de nem éri el, csak megközelíti) Ez akkor következik be, ha az összes helyiérték maximális értékű (bináris esetén mindegyik 1) Ez az intervallum biztosítja, hogy a számot mindig normálalakban fejezzük ki, azaz a legnagyobb helyiértékű számjegy (az első számjegy) mindig 1 legyen, és ezzel az ábrázolás hatékonyabbá válik. 

Példák különböző számrendszerekben:
1. Bináris rendszer (rb=2)

A mantissza intervalluma: [1/2,1) = [0.5, 1), példa: 0.111 = 0,5+0,25+0125 = 0,875

2. Tízes számrendszer (rb=10)
A mantissza intervalluma: [1/10,1) = [0.1, 1), példa: 0.999

rb^-m
az alap reciprokát (1/rb)-t az m-edik hatványra emeljük. Ez az érték a mantissza legkisebb helyiértékének értékét adja meg. Az exponens (-m) határozza meg, hogy a számjegy milyen távol van a tizedespontottól.

Példa: rb=2. Tegyük fel, hogy a mantissza m=3. Az rb^m =2^-3= 1/2^3=0.125.
A mantissza legkisebb helyiértékének értéke 0.125

FPN jellemző paraméterei (V – Value, FPN . Floating Point Number): 
1. Számrendszer és kitevő alapja (rb, re)
rb: a számrendszer alapja (pl. 2-es, 10-es)
re: a kitevő alapja, általában megegyezik rb-vel. Példa: IEEE-754 szabványban rb =re =2, mert bináris lebegőpontos ábrázolást használunk. 

A mantissza értéke: a mantissza a szám tényleges értékének [1,rb) közötti részét tartalmazza. Maximális érték: VMmax: 1-rb^-m, ahol m a mantissza bitjeinek hossza.
Minimális érték: VMmin = 1/rb

Radix pont helye (p): meghatározza a mantisszában, hogy hol kezdődik az egész és a tört rész. Normalizált lebegőpontos szám esetén a radix pont mindig a legjelentősebb számjegy után helyezkedik el. Példa: 1.101 x 2^3. A radix pont az 1 után van. 

Exponens értékei (VE): a maximális és minimális exponens a szám nagyságrendjének határát jelöli. 
Maximális exponens (VEmax): a legnagyobb érték, amit az exponens felvehet. Ez határozza meg, hogy a lebegőpontos szám milyen nagy lehet. Ha például az exponens 8 biten van tárolva (az IEEE-754 szabvány szerint) és excess-127 kódolást használunk: 
VEmax=127
Minimális exponens (VEmin): az a legkisebb érték, amit az exponens vehet fel. Ez határozza meg, hogy a lebegőpontos szám milyen kicsi lehet (a legnagyobb negatív kitevővel). Példa, ha az exponens 8 biten van tárolva: VEmin=-126 

Lebegőpontos szám értéke (VFPN): 

Előjel: (-1)^előjel: meghatározza, hogy a szám pozitív vagy negatív.
0: pozitív
1: negatív

VM: a szám pontos értékének a [1, rb) közötti része
VE: a szám nagyságrendje

Példa: egy szám, amelynek:
mantissza: 1.1101
exponens: VE = 3
számrendszer alapja: rb = 2
előjel: 0

értéke: VFPN = 1.1101 x 2^3 = 1110.1 =14.5