információs technológia
Helyiérték (elmélet)
Számrendszerek alapjai
Helyiérték
Egész- és tört-részek szétválasztása:
– a tizedespont (radix pont) választja el az egész és a tört részt. Példa: 123.21 számnál a 123 az egész, a .21 a törtrész
A helyiértékek mindig a számrendszer alapjának (p) hatványaira épülnek.
A hatványok használata:
Az egész rész a tizedespont bal oldalon pozitív hatványokkal van ábrázolva
A tört rész a tizedespont jobb oldalán negatív hatványokkal van ábrázolva.
Példa: 123.21
123 = 1×10^2 + 2×10^1 + 3×10^0 = 100+20+3 = 123
.21 = 2×10^-1 + 1×10^-2 = 0.2+0.01 = 0.21
A fixpontos és lebegőpontos számok ábrázolása két különböző módszer arra, hogy számokat tároljunk és dolgozzunk fel a számítógépen. Mindkettő a helyiértékek és hatványok elvén alapul, de másképp alkalmazzák őket.
Fixpontos számok
A fixpontos rendszerben a tizedespont helye rögzített. A számítógép memóriájában minden számot ugyanannyi helyiértékkel ábrázolunk az egész és tört részhez.
Jellmezők:
– a tizedespont helye előre meghatározott. Például 16 bitből 8 bit az egész részre, 8 bit a tört részre.
– ezáltal gyorsabb a műveletvégzés és kisebb a memóriahasználat
– korlát: a fix hely miatt a számok értéktartománya és pontossága korlátozott.
A 123.45-nél: 4 számjegy az egész, 2 a tört rész.
Helyiérték:
1×10^2 + 2×10^1 + 3×10^0 + 4×10^-1 + 5×10^-2
Lebegőpontos számok
A lebegőpontos rendszer a számot normálalakban tárolja:
Normálalak: ± Mantissza x b kitevő
A mantissza:
- A szám normálizált, jelentős számjegyeit tartalmazza, amelyeket az alap (b) hatványával szorozunk.
- A mantissza értéke mindig 1≤M<b, azaz a tizedespontot úgy toljuk, hogy a mantissza az 1 és az alap közé essen.
Alap (b)
A számrendszer alapja. Például a decimális számrendszerben b=10, míg bináris számrendszerben b=2
A kitevő: (e) a szám tizedespontjának eltolását adja meg. Pozitív e a tizedespont jobbra tolását, negatív e a balra tolását jelenti.
– A tizedespont helye nem rögzített, hanem a kitevővel szabályozottan lebeg.
– Előny: nagyon nagy és nagyon kicsi számokat lehet tárolni kis memóriával.
– Korlát: pontossága véges (pl. kerekítési hibák)
Példa: 123.45 = 1.2345 x 10^2
Mantissza: 1.2345
Alap: 10
Kitevő: 2
Normálalak bináris rendszerben:
±1.bitek x 2 Kitevő
13.75 ábrázolása bináris normálalakban:
13 = 1101
0.75=0.11
Teljes szám: 1101.11
Normalizáljuk: 1.10111 x 2^3
Mantissza: 1.10111
Kitevő: 3
| Tulajdonság | Fixpontos | Lebegőpontos |
|---|---|---|
| Tizedespont helye | Fixált (előre meghatározott). | Rugalmas (a kitevő határozza meg). |
| Számábrázolás | Egyszerű: egész + tört rész. |
Normálalakban (
). |
| Előny | Egyszerű, gyors számítás. | Nagy számok és nagyon kicsi számok is. |
| Hátrány | Korlátozott tartomány és pontosság. | Kerekítési hibák, komplexebb számítások. |
Hol használjuk ezeket?
Fixpontos: beágyazott rendszerek (mikrokontrollerek), ahol a gyorsaság és egyszerűség előnyösebb. Például: digitális jelek feldolgozása, vezérlőáramkörök
Lebegőpontos: tudományos számítások és grafikai alkalmazások, ahol a nagy számítástartomány kritikus. Például: mérnöki szimulációk, mesterséges intelligencia algoritmusok
Feladatok
Írd át normálalakba:
98765 → 9.8765 x 10^4
0,00432 → 4.32 x 10^-3
0.00000123 → 1.23 x 10^-6
Írd át bináris normálalakba:
14.25 → 1110.01 → 1.11001 x 2^3
0,3125 → 0.0101 → 1.01 x 2^-2